你了解幾何嗎——稀奇古怪的三角形

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在紙上畫(huà)三角形，無(wú)論是怎樣畫(huà)，把三角形里面的3個(gè)角加起來(lái)，都會(huì)等于 180度 即使是畫(huà)100個(gè)、1000個(gè)，也絕對(duì)不會(huì)有一個(gè)例外。有誰(shuí)不信，不妨動(dòng)手畫(huà)上1萬(wàn)個(gè)，再用量角器去量一量。　　那么，能不能找到一種三角形，它的內(nèi)角和不等于180度 呢？
　　在200年前，如果有誰(shuí)提出了這樣一個(gè)問(wèn)題，準(zhǔn)會(huì)有人對(duì)他嗤之以鼻："哼，這也用問(wèn)，三角形的內(nèi)角和等于180度，這是幾何書(shū)中的一個(gè)定理！"
　　定理就是經(jīng)過(guò)邏輯推理證明是正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果有誰(shuí)不信"邪"，仍要問(wèn)一聲："這個(gè)定理就一定那么可靠嗎？"那么，人們就會(huì)搬來(lái)經(jīng)典著作《幾何原本》，翻開(kāi)頭幾頁(yè)，指著"第5公設(shè)"對(duì)他說(shuō)："瞧，這個(gè)定理的正確性可以由它來(lái)保證。"
& b" ~) q; Q7 y% L% G+ Y　　公設(shè)也就是公理，是一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，它們的正確性經(jīng)過(guò)了實(shí)踐的反復(fù)證明，是不證自明的。不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個(gè)公理的基礎(chǔ)上。有誰(shuí)敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個(gè)定理，也就等于是懷疑第5公設(shè)有問(wèn)題。如果連公理也有問(wèn)題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎？
　　第5公設(shè)也就是"平行公理"，它的意思是："在平面內(nèi)，過(guò)已知直線(xiàn)外的一個(gè)點(diǎn)，可以作而且只能作一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)相平行。"試試看，過(guò)直線(xiàn)外的一個(gè)點(diǎn)，你能作出第2條平行線(xiàn)來(lái)嗎？
5 q5 m; v$ c- w. _0 Y9 v' Y% k　　既然有第5公設(shè)作保證，三角形的內(nèi)角和看來(lái)也就只好都等于180度 了。
4 w- P! j9 S% i8 `　　不過(guò)，數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)"第5公設(shè)"是不大滿(mǎn)意的。這倒不是懷疑它有什么錯(cuò)誤，而是覺(jué)得它不像其他的公理那樣一目了然，很像是一個(gè)定理，于是試圖用其他的9個(gè)公理把它證明出來(lái)，進(jìn)而將它從公理的行列中趕出去。
4 P( P1 U! N8 G* G8 k: s" C8 {　　《幾何原本》問(wèn)世后的2000多年里，數(shù)學(xué)家傾注了無(wú)窮無(wú)盡的智慧，始終也未能證明出第5公設(shè)。雖然有不少人曾宣稱(chēng)解決了這個(gè)問(wèn)題，但一檢查就發(fā)現(xiàn)，他們不是證明過(guò)程有錯(cuò)誤，就是用一個(gè)更不明顯的公理代替了第5公設(shè)。無(wú)可奈何之下，大數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾稱(chēng)它是"幾何學(xué)中的家丑"。
( E; F8 E: _* c1 F0 k# W# J　　19世紀(jì)初，有個(gè)叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年，決定獻(xiàn)身于第5公設(shè)的研究。他父親是個(gè)數(shù)學(xué)家，聽(tīng)到這個(gè)消息給嚇壞了。盡管父子倆天天生活在一起，老波里亞為了鄭重其事，竟用筆給兒子寫(xiě)了一封勸告信。
8 g1 T! C; ~7 _/ y/ @: ]　　波里亞深知父親的苦惱和失望，但他沒(méi)有知難而退，義無(wú)反顧地闖進(jìn)了這個(gè)"毫無(wú)希望的黑夜"。他很快就發(fā)現(xiàn)，只要改變第5公設(shè)，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學(xué)來(lái)，于是提出了一個(gè)新的平行公理：
　　"在平面內(nèi)，過(guò)已知直線(xiàn)外的一個(gè)點(diǎn)，至少可以作兩條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)相平行。
3 f* m; z6 I; G0 n　　這個(gè)新公理否定了平行線(xiàn)的唯一性。以它為基礎(chǔ)，再加上原來(lái)的9個(gè)公理，就組成了一門(mén)新的幾何學(xué)，叫雙曲幾何學(xué)。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理，在雙曲幾何學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論。例如，在雙曲幾何學(xué)中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和，而它們又都比180度 小！
　　能夠作出一種三角形，使它的內(nèi)角和小于180度？對(duì)于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來(lái)說(shuō)，這不啻是個(gè)"荒誕無(wú)稽"的海外奇談。連老波里亞也無(wú)法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請(qǐng)求，直到1832年，由于兒子的再三請(qǐng)求，老波里亞才勉強(qiáng)同意將它作為一個(gè)附錄，隨同自己的著作一起出版。
" k9 D9 e$ I0 I0 B: N　　老波里亞與"數(shù)學(xué)王子"高斯是大學(xué)時(shí)代的同窗好友，他把"附錄"的清樣寄給高斯，想聽(tīng)聽(tīng)這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見(jiàn)。1832年3月，高斯在回信中熱情稱(chēng)贊小波里亞"有極高的天才"，但同時(shí)又說(shuō)，他不便公開(kāi)贊許，因?yàn)榉Q(chēng)贊波里亞就等于稱(chēng)贊他自己。
　　原來(lái)，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn)。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究，唯恐這種新幾何學(xué)在直觀(guān)上的"荒誕無(wú)稽"而遭到人恥笑。
1 X4 L3 m, z1 ^! n　　捍衛(wèi)真理是需要勇氣的。
- J3 a  C6 A  q　　早在波里亞著作發(fā)表之前6年，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士，率先亮出了這門(mén)新幾何學(xué)的旗幟。
　　羅巴切夫斯基是一個(gè)偉大的俄國(guó)數(shù)學(xué)家。他獨(dú)立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn)，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們不理解他，認(rèn)為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個(gè)"笑話(huà)"，有人嘲笑他是"對(duì)有學(xué)問(wèn)的數(shù)學(xué)家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人，更是趁機(jī)對(duì)他進(jìn)行惡毒的攻擊和下流的謾罵。這一切都沒(méi)有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作，甚至當(dāng)他已成為一個(gè)瞎眼老人時(shí)，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學(xué)》，為這門(mén)新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國(guó)里取得合理的地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué)。
　　羅巴切夫斯基、波里亞和高斯，用他們創(chuàng)造性的工作，動(dòng)搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀(guān)念，為創(chuàng)造不同體系的幾何開(kāi)辟了道路。1854年，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)"不可思議"時(shí)，高斯的學(xué)生黎曼，又給幾何王國(guó)增添了一種新的幾何學(xué)。
　　黎曼提出了另一種新的平行公理：
　　"在平面上，過(guò)已知直線(xiàn)外的一個(gè)點(diǎn)，不能作直線(xiàn)與已知直線(xiàn)相平行。"
' K5 f0 Z4 b8 x  z　　這個(gè)新公理干脆否定了平行線(xiàn)的存在性。以它為基礎(chǔ)，再加上原來(lái)的9個(gè)公理，就組成了橢圓幾何學(xué)，也叫黎曼幾何學(xué)。
" s0 a0 Z6 Q- d( s# ^　　在這種新的幾何學(xué)里，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180度 ，也不小于180度，而是大于180度 。
% P9 V# ]: ^  _% s+ I* G  Q　　黎曼幾何學(xué)中還有許多奇妙的結(jié)論，例如，"直線(xiàn)的長(zhǎng)是有限的，但卻無(wú)止境。"要弄懂這些理論非常困難。據(jù)說(shuō)，當(dāng)黎曼第一次宣讀這方面的論文時(shí)，除了高斯以外，會(huì)場(chǎng)上竟找不出第二個(gè)能夠聽(tīng)懂的人。
　　羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)都是"純粹人造的"幾何學(xué)，與人們的常識(shí)相悖，乍看起來(lái)都顯得非常不可思議。實(shí)際上，它們比傳統(tǒng)的幾何學(xué)更加深刻地反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式。舉一個(gè)最著名的例子：愛(ài)因斯坦創(chuàng)立的廣義相對(duì)論，就是以黎曼幾何學(xué)的空間概念為基礎(chǔ)的！根據(jù)相對(duì)論學(xué)說(shuō)，現(xiàn)實(shí)空間會(huì)發(fā)生彎曲，到處是新幾何學(xué)的用武之地。
8 [/ t* _3 D* U! z) G, P) {$ X　　相傳高斯做過(guò)一次有趣的實(shí)驗(yàn)，他把相距很遠(yuǎn)的3座山峰，看作是三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，然后計(jì)算它的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 。這正是黎曼幾何學(xué)的結(jié)論。也許有人會(huì)說(shuō)："這不是一個(gè)三角形。因?yàn)樗�不在一個(gè)平面上，而是在地球這個(gè)曲面上！"那么，哪里去找平面呢？運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是平面嗎？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個(gè)曲面的一部分。這樣，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒(méi)有三角形，怎么會(huì)有內(nèi)角和等于180度呢？
　　羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實(shí)空間，但是，在我們的日常生活里，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi)，水平面是非常接近于平面的。實(shí)際上，我們也根本無(wú)法測(cè)出它的彎曲度。這樣，測(cè)量水面上一個(gè)三角形的內(nèi)角和，雖然它實(shí)際上并不等于180度，我們卻無(wú)法測(cè)出它與真值之間的誤差。所以，在我們身邊這個(gè)不大不小的空間里，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的。
　　因此，在紙上畫(huà)三角形，無(wú)論是怎樣畫(huà)，把它的3個(gè)內(nèi)角加起來(lái)，都會(huì)等于180度 。但我們也應(yīng)當(dāng)知道，在數(shù)學(xué)王國(guó)里，確實(shí)還有一些"稀奇古怪"的三角形，它的內(nèi)角和是不等于180度 的。

老飄

{:soso_e140:}原來(lái)我們的幾何是建立在一個(gè)不存在的基礎(chǔ)上的啊？？？？
9 p" o+ @% K$ U- p% {0 A

東海fyh126

球面上的三角形就是如此。。。。。。。。。。

cncw252

數(shù)學(xué)補(bǔ)考兩次的表示一多半沒(méi)看懂

waiwai2008

很有意思....說(shuō)的太對(duì)了...有些定理都沒(méi)有被證明就被傳統(tǒng)幾何運(yùn)用...但是實(shí)際上現(xiàn)實(shí)情況未必就適用于曲面空間。

zhangzhengxin

東海fyh126 發(fā)表于 2012-3-16 20:21
( s" ?! e1 F4 q# u' ^球面上的三角形就是如此。。。。。。。。。。

; Q' Q9 y4 `. w. |* _& S球面上的三角形，那就不是平面了啊，那構(gòu)成這個(gè)三角形的三條線(xiàn)就不是直線(xiàn)了哦。

小花0324

生活中有很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，，，這個(gè)以前讓我想半死也沒(méi)想出所以然，，當(dāng)時(shí)老師告訴我，其實(shí)很多定理都可以試著去推翻的。。可惜呀。。。

豪哥0825

學(xué)無(wú)止境啊，要努力了。雖然咱創(chuàng)造不出什么公理，但是知識(shí)是絕對(duì)有用的

把刀用好

唉，牛角尖也不是這樣鉆的啊。幾何里的任何單獨(dú)的點(diǎn)，線(xiàn)，形都是定義在同一個(gè)平面里的。這是根。拿彎曲的空間異形稱(chēng)三角形來(lái)攻擊有關(guān)三角形的公式和定理是無(wú)理取鬧！當(dāng)然，傳統(tǒng)幾何是無(wú)法真正定義這個(gè)空間異形的，它不是什么形，也不是什么體。也許要靠一種新的延伸學(xué)科來(lái)定性和研究了。至于這么做有沒(méi)有意義，那就另當(dāng)別論了。

xiaoyetongxu

錢(qián)學(xué)森的數(shù)學(xué)，很厲害。久久發(fā)為什么沒(méi)繼續(xù)整空氣，估計(jì)是他的數(shù)學(xué)能力，不合適。
- [3 D" e+ O- ]0 o& Q" ]  j然后，俺不懂曲線(xiàn)組成的角度是什么，